393 04

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Nie tylko by�a ona wystarczaj�co ogólna (obejmowa�a wszystkie znane typy osobliwo�ci), ale równie� z matematyczn� elegancj� ��czy�a sens fizyczny.Z fizycznego punktu widzenia wi�zk� reperów nad czasoprzestrzeni� nale�y interpretowa� jako odpowiednio ustrukturalizowany zbiór wszystkich mo�liwych lokalnych uk�adów odniesienia, powi�zanych ze sob� przekszta�ceniami Lorentza, a przecie� w�a�nie to jest naturalnym �rodowiskiem teorii wzgl�dno�ci.Jednak�e z konstrukcj� Schmidta od pocz�tku ��czy�a si� pewna trudno��.Wyliczenie b-brzegu dla konkretnych czasoprzestrzeni by�o zadaniem bardzo skomplikowanym.W swojej pracy Schmidt przetestowa� zaproponowan� przez siebie definicj� osobliwo�ci na przyk�adzie kilku sztucznie skonstruowanych czasoprzestrzeni (tego rodzaju czasoprzestrzenie kosmologowie cz�sto nazywaj� modelami zabawkowymi).Panowa�o wszak�e przekonanie, �e gdy wreszcie uda si� przezwyci�y� rachunkowe trudno�ci, to oka�e si�, �e definicja Schmidta stosuje si� tak�e do realnych przypadków.Istotny post�p osi�gni�to dopiero kilka lat po opublikowaniu artyku�u Schmidta.Niemal równocze�nie ukaza�y si� dwie inne prace, których autorami byli B.Bosshard i R.A.Johnson.Zapocz�tkowa�y one kolejny kryzys zwi�zany z zagadnieniem osobliwo�ci.Obydwaj ci autorzy za przedmiot bada� wzi�li dwa bardzo wa�ne w teorii wzgl�dno�ci rozwi�zania: zamkni�ty model kosmologiczny Friedmana i rozwi�zanie Schwarzschilda.Nie zdo�ali wyliczy� b-brzegów dla tych rozwi�za�, ale uda�o im si� udowodni� pewne twierdzenia na ich temat.Wyniki obydwu prac by�y identyczne i.niezwykle zaskakuj�ce.Okaza�o si� mianowicie, �e b-brzeg zarówno zamkni�tego modelu Friedmana.jak i czasoprzestrzeni Schwarzschilda sk�ada si� z jednego punktu, który w dodatku nie jest oddzielony w sensie Hausdorffa od czasoprzestrzeni tych rozwi�za�.Wynika st�d, �e osobliwo�ci nie da si� "unieszkodliwi�", odpowiednio izoluj�c j� od regularnych obszarów czasoprzestrzeni.Jeszcze bardziej bulwersuj�ca jest pierwsza w�asno�� odkryta przez Bossharda i Johnsona, zw�aszcza w przypadku zamkni�tego modelu Friedmana.W zamkni�tym modelu Friedmana bowiem istniej� dwie osobliwo�ci � pocz�tkowa i ko�cowa � i je�eli stanowi� one ten sam (i jedyny) punkt b-brzegu, oznacza to, �e pocz�tek Wszech�wiata jest równocze�nie jego ko�cem! W po��czeniu z niespe�nieniem warunku Hausdorffa znaczy to tyle, �e czasoprzestrze� zamkni�tego modelu Friedmana ze swoim b-brzegiem pod wzgl�dem topologicznym redukuje si� do jednego punktu!W naszych dalszych rozwa�aniach wa�n� rol� odegra nie tylko wynik bada� Bossharda i Johnsona, lecz równie� metoda, za której pomoc� ten rezultat osi�gni�to.Otó� w wypadku zamkni�tego modelu Friedmana obydwaj uczeni skonstruowali krzyw� ��cz�c� osobliwo�� pocz�tkow� z osobliwo�ci� ko�cow�.Istotne jest jednak to, �e krzywa ta nie le�a�a w czasoprzestrzeni, lecz w przestrzeni reperów nad czasoprzestrzeni�, czyli w przestrzeni totalnej wi�zki.Nast�pny krok polega� na udowodnieniu, �e d�ugo�� tej krzywej wynosi zero.A zatem osobliwo�� pocz�tkowa i ko�cowa si� pokrywaj�.Rys.4.3.Osobliwo�� pocz�tkowa l ko�cowa w zamkni�tym modelu Friedmanastanowi� jeden punkt b-brzegu.Nast�pi� gor�czkowy okres poszukiwa� jakiego� rozwi�zania.Zaproponowano kilka ulepsze� konstrukcji Schmidta.Jedne okaza�y si� za ma�o ogólne (nie obejmowa�y wszystkich czasoprzestrzeni z osobliwo�ciami), inne � zbyt skomplikowane lub po prostu nieskuteczne.�a�uj�c, �e taka elegancka konstrukcja nie spe�ni�a pok�adanych w niej nadziei, teoretycy powoli o niej zapominali.Poniewa� jednak brzeg czasoprzestrzeni jest konstrukcj� po�yteczn� nie tylko w badaniu problemu osobliwo�ci, zacz�to coraz cz�ciej nawi�zywa� do zaproponowanego ju� wcze�niej przez Gerocha, E.H.Kronheimera i Penrose'a przyczynowego brzegu czasoprzestrzeni.Do skonstruowania tego brzegu s�u�� krzywe przyczynowe oraz sto�ki �wietlne i, cho� ideologicznie jest on przejrzysty, równie� niezwykle trudno daje si� wykorzysta� do praktycznych oblicze�.Pocz�tkowo przyczynowy brzeg czasoprzestrzeni nie mia� s�u�y� do definiowania osobliwo�ci, ale teraz, gdy zasz�a potrzeba, Penrose przystosowa� go do pe�nienia tak�e i tej funkcji.Przyjemnie jest wiedzie�, �e osobliwo�ci mo�na opisa� w eleganckim, teoretycznym je�yku przyczynowego brzegu czasoprzestrzeni, ale konstrukcja ta nie sta�a si� skutecznym narz�dziem w badaniach osobliwo�ci.W dziedzinie tej nadal osi�gano interesuj�ce, cho� nie rewelacyjne wyniki, ale uwaga badaczy zwraca�a si� raczej ku osobliwo�ciom w poszczególnych rozwi�zaniach ni� ku ogólnym twierdzeniom.Po pracach Boss-harda i Johnsona oraz po kilku nieudanych próbach zaradzenia trudno�ciom zwi�zanym z konstrukcj� Schmidta da�o si� zaobserwowa� zm�czenie zagadnieniem osobliwo�ci.Tym bardziej �e z czasem zacz�y rosn�� nadzieje na stworzenie kwantowej teorii grawitacji.Je�eli, jak si� spodziewano, prawa rz�dz�ce skwantowan� grawitacj� wyeliminuj� osobliwo�ci z historii Wszech�wiata, to zniknie g�ówna motywacja zajmowania si� tym problemem.Zagadnienie osobliwo�ci coraz cz�ciej rezerwowano dla matematyków, poszukuj�cych nie-trywialnych przyk�adów dla wyostrzenia metod geometrii ró�niczkowej.Geometria ró�niczkowa jest bardzo pi�kn� dziedzin� matematyki i zapewne nie by�o dzie�em przypadku, �e w�a�nie dzi�ki niej pojawi�y si� perspektywy dalszego post�pu [ Pobierz całość w formacie PDF ]

�

download / ebook / pobieranie / pdf / do ÂściÂągnięcia

Odnośniki