Krzysztof Ciesielski i Zdzisław Pogoda Diamenty matematyki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Bez problemu mo�na jednak pokry� t� sfer� n+1 zbiorami domkni�tymi o�mniejszych �rednicach.Jak to zrobi� w�przypadku okr�gu (czyli S1, zawartego w�R2, za pomoc� trzech zbiorów), pokazuje rysunek.Borsuk postawi� pytanie: "Czy tak samo b�dzie dla dowolnego ograniczonego podzbioru Rn?" Innymi s�owy, czy je�li zbiór o��rednicy d, zawarty w�Rn, zawrzemy w�n+1 zbiorach domkni�tych, to przynajmniej jeden z�nich b�dzie mia� �rednic� wi�ksz� lub równ� od d.Ogólnie s�dzono, �e twierdzenie oka�e si� prawdziwe, dlatego mówiono i�pisano o�hipotezie Borsuka: "Ka�dy zbiór o��rednicy d zawarty w�Rn mo�na pokry� n+1 zbiorami domkni�tymi o�mniejszej �rednicy".Nale�y jednak podkre�li�, �e Borsuk nigdy nie sformu�owa� swojego problemu w�tej postaci jako hipotez�, lecz w�a�nie jako pytanie: "Czy.?"w przypadku podzbiorów p�aszczyzny, dlan�=�2, mo�liwo�� utworzenia odpowiedniego pokrycia wykaza� sam Borsuk.Ju� jednak w�przypadku zwyk�ej, trójwymiarowej przestrzeni, problem okaza� si� niezwykle trudny! Dopiero w�roku 1947 rozwi�zanie przedstawi� Polak Julian Perkal, dowodu jednak nie opublikowa�; ukaza�a si� jedynie informacja o�rozstrzygni�ciu problemu.Drukiem og�oszony zosta� (w roku 1955) dowód, który wymy�li� H.G.Eggleston.pó�niej podano inne, prostsze dowody.w�wy�szych wymiarach jednak -�ani rusz.Problem czeka� na pogromc� 60 lat! i�okaza�o si�, �e Borsuk mia� niezwyk�� intuicj�, formu�uj�c pytanie tak, a�nie inaczej.Otó� udowodniono, �e odpowiednie pokrycie nie zawsze musi istnie� -�dzieje si� to jednak w�wysokich wymiarach.Zagadnienie rozstrzygn�li w�1992 roku Jeff Kahn z�USA i�Gil Kalai z�Izraela.U�yli oni metod, nazywanych "kombinatorycznymi"; wcze�niej nie przypuszczano, �e tymi technikami mo�na ów problem pokona�.Zreszt�, co ciekawe, Kahn i�Kalai dowiedzieli si� o�problemie Borsuka przypadkiem; pracowali nad inn� tematyk�.Z twierdzenia Kahna i�Kalai w�prosty sposób wynika, �e dla pewnych wymiarów hipoteza nie jest prawdziwa.Najmniejszym znanym wymiarem, w�którym sytuacja si� "psuje", jest.9604.Do pokrycia pewnego podzbioru R9604 nie wystarczy 9605 zbiorów o�mniejszej �rednicy.Problem zosta� rozwi�zany, nie wszystko jednak wiadomo.Nie jest znana odpowied� w�przypadku ni�szych wymiarów -�nawet dla wymiaru cztery!Na problemie Borsuka wcale nie ko�cz� si� interesuj�ce zagadnienia powi�zane z�twierdzeniem o�antypodach.Innym wa�nym faktem ��cz�cym si� z�twierdzeniem o�antypodach jest twierdzenie Brouwera o�punkcie sta�ym.Twierdzenie Brouwera jest jednym z�najs�ynniejszych twierdze� klasycznej topologii.Mówi ono, �e ka�de odwzorowanie ci�g�e, przeprowadzaj�ce ko�o domkni�te w�to samo ko�o, ma punkt sta�y, to znaczy taki, który odwzorowuje si� na samego siebie.Inaczej: je�li b�dziemy deformowa� ko�o, nawet bardzo radykalnie, ale nie rozrywaj�c go i�nie wychodz�c poza jego pierwotne granice, to zawsze si� znajdzie punkt, który pozostanie na miejscu (ani drgnie).i�to twierdzenie ma �adn� interpretacj� geograficzn�: je�li gdzie� na ziemi po�o�ymy map� Polski tak, by ani kawa�ek nie le�a� poza granicami naszego kraju, to znajdzie si� punkt na mapie, który b�dzie le�a� dok�adnie w�tym miejscu Polski, któremu odpowiada.w�tym modelu dziedzin� funkcji jest oczywi�cie Polska, zbiorem warto�ci -�mapa.Badanie punktów sta�ych przekszta�ce� ma ogromne znaczenie i�ka�de twierdzenie na ten temat jest bardzo cenne.Twierdzenie Brouwera jest prawdziwe dla dowolnej, n-wymiarowej kuli domkni�tej (nie sfery), w�szczególno�ci dla odcinka.w�tym ostatnim przypadku sprowadza si� ono do prostego zastosowania twierdzenia Darboux.Jednak w�przypadku ogólnym sytuacja jest du�o bardziej skomplikowana.Dowód ogólnego twierdzenia przedstawiony przez Holendra Luitzena E.J.Brouwera w�1911 roku zosta� przyj�ty przez �rodowisko matematyczne z�du�ym uznaniem.Okazuje si�, �e twierdzenie Brouwera mo�na w�prosty sposób otrzyma� jako konsekwencj� twierdzenia Borsuka-Ulama.Taki dowód mo�e jednak wywo�a� mieszane uczucia.z�jednej strony dobrze jest, gdy pewne fakty wyprowadzamy z�innych, dzi�ki temu mo�na nie tylko zobaczy� pi�kne zwi�zki w�matematyce, ale te� zaoszcz�dzi� wiele pracy; ch�� uzasadniania wszystkiego niezale�nie, "od podstaw", szybko zahamowa�aby rozwój matematyki.Trudno te� krytykowa� kogo�, kto najpierw chce wyj�� na �winic�, a�stamt�d uda� si� na Kasprowy Wierch, zamiast obowi�zkowo "zalicza�" szczyty od najni�szego do najwy�szego.z�drugiej strony jednak nie wolno popada� w�przesad�.w�niektórych sytuacjach pos�u�enie si� zbyt zaawansowanymi technikami do wykazania prostych faktów mo�na porówna� z�otwieraniem konserwy przy u�yciu lasera du�ej mocy czy z�prób� zabicia brz�cz�cej na szybie muchy za pomoc� wiertarki elektrycznej.w�tym przypadku jednak tego problemu nie ma.Co prawda, twierdzenie Borsuka-Ulama w�istocie jest trudniejsze do wykazania ni� twierdzenie Brouwera, ale i�dowód twierdzenia Brouwera (sam w�sobie) nie jest �atwy [ Pobierz całość w formacie PDF ]

�

download / ebook / pobieranie / pdf / do ÂściÂągnięcia

Odnośniki